2変数関数の極小値・極大値・鞍点の求め方

はじめに

先日話題になっていた下記の記事を読んで、大学1年次に勉強した極小値・極大値・鞍点の求め方を復習しようと思った。
qiita.com

例題と解法

下記サイトから引用。
mathtrain.jp

例題

$f(x,y)=x3+2xy+y2−x$ の極値をできる限り求めよ。

解法（方針）

極値のための必要条件として偏微分=0を解き、候補の組を得る
ヘッセ行列を導出する
候補の組をヘッセ行列 $H$ にそれぞれ代入し、形状から極小値・極大値・鞍点のいずれであるかを判定する

（詳細は引用の範囲を超えるので、上記リンクへ）

解説

下記の書籍の「6.3.2　２変数関数の極値問題」から抜粋。

www.shoeisha.co.jp

テイラーの公式を $n=3$ まで展開し、以下を導く（ただしは $H$ はヘッセ行列、 $R(x,y)$ は剰余項）。

$f(x,y) - f(x_0,y_0) = \frac{1}{2}H \left( \begin{array}{rr} x-x_0 \\ y-y_0 \\ \end{array} \right)+R(x,y)$

ここで、候補の組 $(x_0,y_0)$ をヘッセ行列 $H$ に代入した際に常に $H>0$ であれば、（剰余項を無視すると）常に $f(x,y) - f(x_0,y_0)>0$ であるため、その組 $(x_0,y_0)$ は極小値である。同様に常に $H<0$ であれば、その組 $(x_0,y_0)$ は極大値である。どちらとも言えなければ、鞍点である。

剰余項を考慮した場合の議論は上の書籍参照。